Решение матричной игры в чистых стратегиях

предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш.

Величина a - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры. Стратегия , обеспечивающая получение выигрыша a, называется максиминной.

Аналогично определяется наилучшая стратегия второго игрока. Игрок В при выборе стратегии , в худшем случае получит проигрыш

Он выбирает стратегию , при которой его проигрыш будет минимальным и составит

Величина b - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия , обеспечивающая получение проигрыша b, называется минимаксной.

Фактический выигрыш игрока А(проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхний и нижний ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство a≤b.

Если a=b=n, т.е.

то выигрыш игрока А (проигрыш В) определяется числом n. Оно называется ценой игры. Если a=b=n, то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы , соответствующей пате оптимальных стратегий(), называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.

Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков. Их совокупность - решение игры, которое имеет свойство: если один из игроков придерживается оптимальной стратегии игроков, то второму отклонение от своей оптимальной стратегии не может быть выгодным.

Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Найдем решение игры рассмотренного выше примера:

a= - нижняя цена игры.

b= - верхняя цена игры.

Так как a=b=0, матрица игры имеет седловую точку.

Оптимальная стратегия первого игрока - , второго . Из таблицы видно что отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока от увеличивает его проигрыш.

Наличие седловой точки в игре - это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку, и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией.

Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию ее развития, т.е.результат всех предыдущих ходов. (шахматы, шашки).

Теорема: Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях.