Методы численного решения дифференциальных уравнений

При разработке технических устройств различного рода очень широко применяется математическое моделирование, которое позволяет, избежав дорогостоящего построения реальных прототипов устройств, рассчитать поведение основных элементов, основные параметры системы.

Основным видом математических моделей, применяемых в отношении технических устройств, являются аналитические модели. Они представляются в виде системы алгебраических и/или дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение вида

, (1)

где - независимая переменная, - искомая функция, - ее производная.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

Если для некоторого значения выполняется условие

( или ),

то говорят, что в точке функция имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус). В отличие от бесконечной производной определенную выше производную функции иногда называют конечной производной.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то оно принимает вид

(2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде или в виде , являющемся частным случаем более общего уравнения

, (3)

где и - известные функции. Уравнение в симметричной форме (3) удобно тем, что переменные и в нем равноправны, то есть каждую из них можно рассматривать как функцию другой.

Найти точное решение этих уравнений, как правило, не представляется возможным ввиду сложности уравнений описывающих поведение модели. Поэтому в этих случаях широко применяются численные методы решения. Для алгебраических уравнений основными численными методами являются:

1 метод половинного деления;

2 метод итераций;

3 метод касательных;

4 метод секущих;

5 комбинированный метод.

Для дифференциальных уравнений часто используются такие численные методы как:

6 метод Эйлера;

7 метод Рунге-Кутта;

8 метод Адамса;

9 метод Коуэлла-Субботина;

10 метод квадратур.

Методы Эйлера.

Дифференциальные уравнения находят широкое применение в прикладных задачах. Если рассматриваемая задача сводится к решению системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, как, например, большинство задач в теории электрических цепей, то ее решение может быть найдено в явном виде. Если же дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты или являются нелинейными, то их решение, как правило, приходиться искать численно. Использование ЭВМ значительно облегчило использование дифференциальных уравнений, позволяет решать такие задачи, к которым при ручном счете даже не приступали.