Экономико-математическое моделирование

Каждому студенту задаётся вариант индивидуального задания для исследования функций одной и нескольких переменных на экстремум соответственно из таблиц 1 и 2.

.3 Пример выполнения задания

Постановка задачи

Исследовать на экстремум функции:

1) y=10-48x+16x2;

2) y=133+5x1+20x12+17x2+5x22+17x1x2.

Задание 1. Необходимое условие экстремума функции одной переменной:

; x=x*.

y=10-48x+16x2;

Находим производную, приравниваем её к нулю:

;

Достаточное условие экстремума функции одной переменной:

;

.

Функция y=10-48x+16x2 имеет минимум при x=1,5, так как порядок производной, впервые не обращающейся в нуль, четный (второй), и значение этой производной больше нуля.

Ответ: y*=f= -26- минимум функции y=10-48x+16x2.

Задание 2. Необходимое условие экстремума функции многих переменных:

y=f(x1,…,xn).

;=133+5x1+20x12+17x2+5x22+17x1x2;

Выражаем x1 из первого уравнения и подставляем во второе.

Получаем уравнение:

-17* (5+17 x2)/40 + 10 x2 = -17;

,775 x2= -14,875;

;

Подставляя значение x2 в первое уравнение, получаем значение для x1:

;

;

;

Достаточное условие экстремума функций многих переменных

Составляем матрицу из коэффициентов квадратичной формы. Для этого вычисляем вторые частные производные исходной функции:

;

;

;

.

Диагональные миноры матрицы квадратов А:

;

;

Значит, квадратичная форма является положительно определенной, т. е. функция

y=133+5x1+20x12+17x2+5x22+17x1x2

при будет иметь минимум.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Определение оптимальной долговечности изделия аналитическим методом

.1 Постановка задачи

Решается задача определения оптимальной долговечности (срока службы) изделия, участвующего в технологическом процессе, при котором затраты на планируемом временном отрезке Т при использовании изделия с долговечностью Т¶ будут минимальны.

Суммарные затраты:

(2.1)

(2.2) - стоимость НИОКР ;

(2.3) - стоимость серийного производства 1 изделия с долговечностью Т¶;

(2.4)

стоимость годовой эксплуатации 1 изделия с долговечностью Т¶;

Т¶0 - выбранное базовое значение долговечности;

S1, S2, S3 - стоимости НИОКР 1 изделия, серийного производства 1 изделия, стоимости годовой эксплуатации 1 изделия при долговечности Т¶ = Т¶0. К1П, К2П, КНО, К1ГЭ - коэффициенты, заданные числа.

2.2 Метод решения задачи

2.2.1 Решение задачи аналитическим методом по заданной целевой функции

Задаются значения следующих коэффициентов:

(2.5)