Моделирование генной экспрессии

Широко распространен выбор базисных функций в виде степеней :

.

Однако такой выбор базисных функций не является оптимальным с точки зрения решения системы нормальных уравнений с наименьшими погрешностями. При выборе такого базиса построение аппроксимирующего полинома выше 7 степени приводит к значительным погрешностям при решении системы нормальных уравнений.

Намного лучшие результаты может дать применение ортогональных полиномов (Чебышева, Лежандра, Лаггера, Якоби). Выбор таких полиномов в качестве базисных функций обеспечивает лучшую обусловленность системы нормальных уравнений и позволяет строить качественные аппроксимации больших степеней.

Метод наименьших квадратов является классическим инструментом для сглаживания экспериментальных данных. Естественность постановки и простота реализации являются основными преимуществами этого подхода. Во многих работах по данной тематике исследователями применялся именно этот метод. Увеличением степени полинома можно добиться любой необходимой точности приближения исходных данных, однако при обработке микрочиповых экспериментов очень большая точность даже вредна. С другой стороны подбор оптимальной степени в каждом конкретном случае затрудняет автоматизацию. Кроме того, для этого метода характерны сильные колебания численной производной, которая, обычно, имеет правильный тренд (т.е. сохраняет нужные промежутки возрастания и убывания), однако, по абсолютному значению может существенно отличаться от реальных.

. Ядерное сглаживание

Опишем (согласно [10]) еще один подход сглаживанию данных, основанный на задании последовательности весов . В дальнейшем фиксируем и для простоты будем обозначать эту последовательность . Вычисление приближенного значения сглаживаемой функции в произвольной точке вычисляется по формуле:

Соответственно для производной (в случае дифференцируемости весовых функций):

Ядерный подход состоит в том, что весовая функция задается посредством функции плотности , которая регулирует размер и форму весов вблизи точки . Эту функцию принято называть ядром. Ядро - это непрерывная ограниченная симметричная функция с единичным интегралом: