Экономико-математическое моделирование

. построить графики изменения фазовых координат системы во времени при переходе системы из начального состояния в конечное за минимальное время;

. построить графики изменения оптимального управления во времени, обеспечивающего минимальное время перехода из исходного состояния в конечное;

. построить графики изменения фазовых координат системы во времени при переходе системы из исходного состояния системы в конечное;

. построить графики изменения неоптимального управляющего воздействия.

.3 Решение задачи принципом максимума

(6.7)

В данной задаче:

(6.8)

С учетом конкретного математического описания системы (6.3) и (6.4) функция Гамильтона принимает вид:

(6.9)

Система дифференциальных уравнений, сопряженных системе (6.3) и (6.4) имеет вид:

(6.10)

(6.11)

Согласно принципу максимума при оптимальном управлении функция Гамильтона (9) принимает максимальное значение. Следовательно, для поиска оптимального управления Uопт(t), нужно максимизировать функцию Гамильтона:

(6.12)

Так как функция Гамильтона (6.9) линейно зависит от управления U(t), то оптимальное управление будет принимать значения: Uопт(t)=-1, если множитель при U(t) в (6.9) имеет знак «-»; и Uопт(t)=1, если множитель при U(t) в (6.9) имеет знак «+», т.е.: Uопт(t)=signΨ2(t), где signΨ2(t) - знаковая функция.

В соответствии с алгоритмом решения задачи принципом максимума найденное выражение оптимального управления подставляют в систему сопряженных уравнений (6.3), (6.4), (6.10), (6.11).

Решение этой системы при заданных граничных условиях (6.5а), (6.5б), (6.5в) и (6.5г) можно получить в фазовом пространстве

(6.14)

или во временной области

(6.15)

(6.16)

При решении системы уравнений (6.3), (6.4), (6.10), (6.11) в фазовом пространстве оптимальное управление является функцией фазовых координат. При решении системы уравнений (6.3), (6.4), (6.10), (6.11) во временной области оптимальное управление является функцией времени. Покажем это: рассмотрим систему уравнений (6.10) и (6.11).

Из (6.10) следует:

(6.17)

Подставим (6.17) в (6.11):

(6.18)

и проинтегрируем (6.18)

(6.19)

Заметим, что функция (6.19) линейна. Следовательно, Ψ2(t) только один раз может сменить знак (рис. 1).

Рис. 1. Графики функций Ψ2(t) и Uопт(t)

В соответствии с (6.13) оптимальное управление тоже только один раз меняет знак и может переключаться со значения (-1) на (+1) или со значения (+1) на (-1).

.4 Построение фазовых траекторий.

Построим фазовые траектории движения системы для случая Uопт(t)=+1. При этом система уравнений (3) и (4) описывающая рассматриваемую систему, примет вид:

(6.20)

(6.21)

Поделим (6.20) на (6.21):

(6.22)

и проинтегрируем (6.22):

(6.23)

(6.24)

Уравнение (6.24) описывает движение системы в фазовом пространстве при U(t)=1. Графики функции (6.24) для различных y0 приведены на рис.2. Они представляют собой параболы с ветвями симметричными относительно оси y1(t), и вершинами слева.

Рис. 2. Графики движения системы в фазовом пространстве в зависимости от начальных условий и функции управления.