Экономико-математическое моделирование

,

4.3 Метод градиента

Алгоритм метода

Постановка задачи:

Формула градиента функции:

где - направляющие вектора по оси ., где - точка приложения

Признак окончания поиска:

Направление определяется направляющими косинусами:

где .

Алгоритм поиска методом градиента:

1. Выбирается исходная точка поиска в области допустимых управлений (решений):

.

В ней вычисляется значение функции, направляющие косинусы и оценки частных производных .

Перейдем от частных производных к отношению приращений:

. Направляющие косинусы вычисляются по следующей формуле:

где .

1. Формируется шаг в направлении градиента следующим образом:

, где

Знак "+" ставится в задачах максимизации,

"-" - в задачах минимизации.

Существуют различные способы формирования шага. Широко распространен способ формирования шага пропорционально модулю градиента.

.

- начальная величина шага.

2. Алгоритм движения вдоль j-й координатной оси:

При каждом шаге в направлении градиента вычисляется целевая функция в полученной точке и частные производные по каждой из переменных .

3. Проверяется выполнение признака окончания поиска:

, где малая величина.

4.4 Методом наискорейшего спуска

Алгоритма метода

Метод является синтезированным из двух описанных выше. В данном методе движение из исходной точки происходит в направлении градиента n до выполнения условия , . Из точки, в которой выполнено это условие, движение осуществляется в направлении градиента, т.е. перпендикулярно предыдущему направлению. Поиск заканчивается по тому же условию, что и в двух предыдущих.

4.5 Пример выполнения задания

Исследуемая функция F(X, Y) = 100+38*x+2*x*x+51*y+51*y*y+20*x*y

Интервал по X = [-374,86848,-339,16672]

Интервал по Y = [66,0288,72,9792]

Требуемая точность: E = 0,01

Начальный шаг h0 = 0,01

Сигма sigX = 0,0001

Сигма sigY = 0,0001

ДельтаX = 1E-5

ДельтаY = 1E-5

Координаты стартовой точки:

X начальное = -365,94304

Y начальное = 67,7664

.5.1 Метод Гаусса-Зейделя

Значение функции в текущей точке Fn(x, y) F0 = -4287,44717127684

Значение частной производной по x = -70,4441335983574

Значение частной производной по y = -355,687492992729

< . Начинаем поиск вдоль по оси оy

Вычислим новую точку y = y - sign()*h = 67,7689